向量组与秩 · 结论汇总

求表示系数的方法

• 阶梯形 + 回代（默认用这个，含参数时最省事）
• 观察法：先看有 0 的分量，凑完每个分量都要验算
• 克拉默法则：方阵且 |A| ≠ 0，或只求某一个系数
• 内积公式：α 两两正交时，x_i = (β, α_i) / (α_i, α_i)
• 行最简形：要同时表示多个向量时，一次读出全部系数

判定：线性无关，且个数等于向量组的秩 ⟹ 是极大无关组，其余向量都能由它表示。

求法：按列排成矩阵 → 只做行变换化为阶梯形 → 主元所在的列对应的原向量就是极大无关组 → 继续化为行最简形，直接读出其余向量的表示系数（系数原样搬回原向量）。

依据：初等行变换不改变列向量之间的线性关系。原因：行变换 = 左乘可逆 P，Ax = 0 ⟺ PAx = 0，两个矩阵的列满足完全相同的线性关系。

• 向量组等价 ⟹ 秩相等；秩相等推不出向量组等价。
• 行向量组等价 ⟺ 存在可逆 P 使 PA = B；列向量组等价 ⟺ 存在可逆 Q 使 AQ = B。

伴随矩阵的秩（A 为 n 阶方阵）

A、B 都是 n 阶方阵时

• |C| = |A|·|B|
• C 可逆 ⟺ A、B 都可逆，此时 C⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
• C^T = B^TA^T，C^* = B^*A^*（顺序都要倒过来）

1. B 的每一列都是 Ax = 0 的解
2. r(A) + r(B) ≤ n（n 是 A 的列数）
3. A 列满秩 ⟹ B = O（左消去律）；同理 AB = AC ⟹ B = C
4. B ≠ O ⟹ Ax = 0 有非零解，r(A) < n；A 为方阵时 |A| = 0

ab 型矩阵（对角线为 a，其余为 b，n 阶，b ≠ 0）

入口：各行的和相等 → 把所有列加到第 1 列，提出公因子。

例（2022 真题）：对角线为 λ、其余为 1 的 3 阶矩阵，|A| = (λ+2)(λ−1)²；λ = 1 时秩为 1，λ = −2 时秩为 2。

秩为 1 的矩阵

A = αβ^T，则

中间的 β^Tα 是一个数，可以提到外面。

秩为 r 的矩阵：A = GH

G 取 A 的列的极大无关组，H 取行最简形的非零行，则

中间的 HG 是 r 阶矩阵，不是数，必须老老实实算矩阵的幂。

常用变形

• A + B⁻¹ = A(A⁻¹ + B)B⁻¹
• 每列元素之和均为 k、|A| = 1 ⟹ A₁₁ + … + A_1n = 1/k（各行加到第 1 行，提出 k）
• 么型（2016 真题）：递推 D_n = λD_n−1 + a_n

再单位化：γ_i = β_i / |β_i|。